I chicchi di grano di Sessa [Soluzione]

I chicchi di grano di Sessa

Una leggenda racconta che il bramino Sessa, visir del Rajah-Rama, avendo inventato il gioco degli scacchi, si vide offrire dal sovrano, che voleva ringraziarlo di un così piacevole gioco, qualunque cosa desiderasse.
Sessa espresse il desiderio di ricevere un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così via, andando avanti a potenze di 2, fino alla sessantaquattresima casella. Il re accettò di esaudire questa modesta richiesta! Secondo voi ci riuscì?

[SOLUZIONE]

È improbabile che il visir abbia potuto esaudire il bramino! Infatti il suo desiderio non era affatto modesto e ci sarebbero voluti ben 18'446'744'073'709'551'615 chicchi di grano per esaudirlo. Il conto è sintetizzato dalla seguente serie:

Per calcolare tale numero non è necessario eseguire la sommatoria, ma sapere che la somma delle potenze di due da 2⁰ fino a 2ⁿ è uguale a 2ⁿ⁺¹-1. Quindi il calcolo precedente si riduce a quello di:
2⁶⁴-1 Nel calcolo ci aiuta Wikipedia che riporta una tabella di potenze di due alla pagina Power of two.

Facciamo una considerazione: un recipiente di 1 m³ contiene circa 15 milioni di chicchi di grano. Se pensassimo di costruire un granaio di 4 m di altezza per 10 m di larghezza, per contenere tutto il grano richiesto da Sessa, il granaio dovrebbe misurare in lunghezza ben 30'000'000 Km, cioè 1/5 della distanza media tra la terra e il sole (la quale è pari a 149'600'000 Km).
Inoltre non basterebbe tutta la superficie terrestre seminata interamente a grano per produrre un simile quantitativo di grano in una annata! Facciamo un calcolo approssimativo: consideriamo l'intera superficie terrestre, acque comprese, che è pari a 510'100'900 Km² e consideriamo, come parametro per i nostri calcoli, la superficie coltivata a frumento in Italia, che nel 1996-97 è stata pari a 2'362'752 ha. In quell'annata sono stati raccolti 69'069'000 q di grano. Quindi sono stati prodotti in media, circa 3'450 q/Km² di grano. Moltiplicando questa cifra per la superficie terrestre (considerandola interamente seminata a grano) l'umanità potrebbe produrre in un'annata 1,7·10¹² q di grano. Se un chicco di grano pesa 0,5 g avremmo quindi 3,5·10¹⁷ chicchi di grano prodotti in un anno e per produrre il quantitativo di grano richiesto da Sessa, approssimandolo a 18·10¹⁸ chicchi di grano, ci vorrebbero ben 51 anni!

Pagina aggiornata il 18 agosto 2014. Autore Filippo Spadaro